Paradigm最新衍生品概念：乘方永續合約

原文標題：《 Power Perpetuals 》

原文作者： Dave White, Dan Robinson, Zubin Koticha, Andrew Leone, Alexis Gauba, Aparna Krishnan

原文編譯：張路遙

簡介

本文介紹了一種新型的衍生品 – 乘方永續合約。

如果 ETH 的價格翻倍，ETH 的 2 次方永續合約翻 4 倍，ETH 的 3 次方永續合約翻 8 倍，ETH 的 5 次方永續合約翻 32 倍。

當然，這種不對稱的上漲並不是免費的。那些做多乘方永續合約的人需要定期支付溢價收益，給那些做空的人。

乘方永續合約提供了類似於全球期權的風險敞口，而不需要行權價或到期日，使其有可能將大部分期權市場的流動性，整合到單一的工具中。

從不少方面來講，乘方永續合約都是 永續期權 合理的下一步。據我們所知，除我們外，研究人員 Wayne Nilsen 和 lllvvuu 也各自獨立發現了這種產品。

機制前提條件

乘方永續合約是 永續期權 論文中介紹的永續衍生品的一個特殊系列。

在本文接下來的內容中，我們將假設讀者已經熟悉永續期權和 永續期貨 的基本機制。

定義

乘方永續合約是指與某些標的資產價格的乘方掛鉤的永續衍生品。在本文中，我們將假設這個標的資產是以太幣。

對於任何乘方 p，ETH^p 乘方永續合約都是通過定期（如每天）支付的資金費用來維持的。如果在注資時，乘方永續合約的當前價格是 $MARK，做多乘方永續合約的人必須向做空的人支付 $(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^p)。

在乘方永續合約裏，我們把這種資金費用稱爲 溢價收益 (premium yield)。因爲這種費用通常是由多頭向空頭支付的溢價，以換取類似期權的風險敞口。

例子

考慮 ETH^2 乘方永續合約。

爲簡單起見，假設 ETH 的交易價格爲 $3，而在支付資金時，ETH^2 乘方永續合約的交易價格爲 $9.09。那麼每份合約多頭都將不得不向空頭支付 $(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^2)=$(9.09-3^2)=$9.09-$9.00=$0.09。

定價概述

乘方大於 1 的永續合約具有正的 凸性，這意味着當價格對他們有利時，持有者賺錢更快，而當價格對他們不利時，虧錢則更慢。用期權的話說，我們說它們有正的 伽馬值 (gamma)。

就像期權通常以其 內在價值 的溢價交易一樣，ETH^p 的乘方永續合約通常以 ETH 價格的 p 次冪的溢價交易。

推導

按照 永續期權論文 中的方法，我們可以先對即將到期的乘方衍生品進行定價，然後這些衍生品的組合進行定價，這個組合剛好相當於所需的永續合約。

下面我們將使用 Black-Scholes 假設來推導我們的價格。這些當然不是最合適的假設，但應該可以作爲一個例子來說明做市商如何去給乘方永續合約估值。

在 Black-Scholes 假設下給一個即將到期的乘方衍生品定價要比給期權定價簡單得多。有興趣的讀者可以在 StackExchange 這裏 找到一個快速推導。其價格爲

S^pe^{t\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}Spet2p−1(2r+pv2)

其中 S 是現貨價格，p 是乘方數，t 是到期時間，r 是漂移（drift）或者叫無風險利率，v 是年化波動率。

結合 永續期權論文 附錄 B 中的永續期權定價方法，並對所得的幾何數列進行求和，我們可以得到每期支付一次資金的乘方永續合約的價格表達式如下（假設數列收斂 – 見下文）：

S^p\frac {1}{2e^{-f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}Sp2e−f2p−1(2r+pv2)−11

其中 f 是以年爲單位的注資期。

這可以解釋爲指數 S^p 乘以調整係數 \frac {1}{2e^{-frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}2e−fracp−12(2r+pv2)−11，該係數考慮了乘方永續合約的嵌入式期權性。需要注意的是，當注資期接近 0 時，這個調整係數接近 1。

溢價收益（我們對融資率的新術語）可以計算爲：

\text {MARK}-\text {INDEX} = S^P (\frac {1}{2e^{-f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}-1)MARK−INDEX=SP(2e−f2p−1(2r+pv2)−11−1)

收斂性

我們總是可以對股票永續期權進行定價，而與之不同的是，配置不好的乘方永續合約可能會出現價格無法收斂的情況。特別是，我們只有在以下情況下才可以對乘方永續合約進行定價：

\frac {e^{f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}}{2} < 12ef2p−1(2r+pv2)<1

直觀地說，乘方數和波動率越高，長期的臨期乘方期貨就越有價值；注資期越長，乘方永續合約的價值就越集中於長期的乘方期貨。對某些組合來說，同等的投資組合可以變得無限有價值。

這個問題在實踐中可以通過選擇一個足夠小的注資期來輕鬆避免。

例子 

ETH^2 乘方永續合約

見 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。

在 Black-Scholes 假設下，ETH^2 乘方永續合約的價格爲 S^2\frac {1}{2e^{-f（r+v^2）}-1}S22e−f（r+v2）−11。

在其他條件相同的情況下，當 ETH 價格 4 倍時，它會翻 16 倍。

它有一個很方便的特性，就是有一個恆定的伽馬值，即 \frac {2}{2e^{-f (r+v^2)}-1}2e−f(r+v2)−12，這意味着無論 ETH 的價格如何，它都能提供恆定的期權性。

我們親切地稱它爲「squeeth」，是「ETH 平方」的簡稱。

ETH^3 乘方永續合約

見 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。

ETH^3 乘方永續合約的價格爲 S^3\frac {1}{2e^{-f（2r+pv^2）}-1}S32e−f（2r+pv2）−11。

在其他條件相同的情況下，ETH 價格翻 4 倍時，它將翻 64 倍。

你可以從圖中清楚地看到永續合約的交易價格比其指數 ETH^3 要高，因爲它爲持有者提供了期權。

Python 定價實現

你可以在 https://github.com/para-dave/powerperps/ 看到乘方永續合約定價的 Python 實現，包括根據經驗證明正確性的測試。

總結

乘方永續合約仍處於起步階段，但我們從 一開始 就對其進行了深入的研究，並仍對其潛力感到非常興奮。

如果你和我們一樣對這種新東西感到好奇，我們很想聽聽你的想法。你可以發郵件給 dave@paradigm.xyz，或 在 Twitter 上給我發私信，或通過 squeeth@opyn.co，聯繫 Opyn。

鳴謝：lllvvuu、Wayne Nilsen、Wade Prospere、Grug、Lily Francus、Benn Eifert 博士、Jeff Wang、Mewn

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