原文標題：走向預測市場的 Black-Scholes 模型：統一核心與做市商手冊

原文來源：Daedalus Research

翻譯、註解：MrRyanChi，insiders.bot

在創立 @insidersdotbot 的第一天，就有用戶問過我，是否有通過我們產品進行做市的可能性。隨著 Polymarket 推出做市激勵計劃，各種群裡對做市的討論更是越發熱火朝天。

然而，正如套利一樣，做市是一門需要嚴謹的數學來展開討論的學科，絕非簡單的兩邊掛單，提供流動性，就能賺到的錢。傳統幣圈合約的做市商已經賺得盆滿缽滿，然而，預測市場的做市商仍然處於起步階段，存在著大量獲利空間。

恰好前段時間，在某個量化大嶽的推薦下，看到了 @0x_Shaw_dalen 為 @DaedalusRsch 的學術論文，很完整地闡述了整個 Polymarket 做市策略的邏輯，以及如何具體執行這些策略。

這次的原文比上次還要技術性 100 倍，所以也進行了超大量的改寫，研究，分析，盡量大家不需要額外查資料，就能了解預測市場做市的全貌。

上一篇文章詳見《Polymarket 套利聖經：真正的差距在數學基礎設施》

不管你的目標是成為下一個大的預測市場莊家，還是通過空投與流動性激勵拿到大結果，你都需要對機構級別的做市手段有完備的理解，而這正是這篇文章能夠為你做的。

序言

開始前，先問你兩個問題。

第一個：你在 Polymarket 上做市，「特朗普贏得大選」的合約現在是 $0.52。你掛了 $0.51 的買單和 $0.53 的賣單。突然，CNN 報道了一條重大新聞。你的價差應該調到多少？$0.02？$0.05？$0.10？

你不知道。沒有人知道。因為沒有公式告訴你「這條新聞值多少個百分點的價差」。

第二個： 你同時在「特朗普贏得賓夕法尼亞」、「共和黨贏得參議院」、「特朗普贏得密歇根」三個市場做市。選舉之夜，第一個關鍵州的結果出來了。三個市場同時劇烈波動。你的整個投資組合在 3 分鐘內虧了 40%。

你事後複盤，發現問題不是方向判斷錯了，而是你根本沒有工具來衡量「這三個市場同時動」的風險有多大。

這兩個問題，在傳統期權市場，1973 年就被解決了。

1973 年，Black-Scholes 公式給了所有人一個共同語言。做市商知道怎麼定價差（隱含波動率）。交易員知道怎麼對沖多個倉位的聯動風險（Greeks 希臘字母和相關性）。整個衍生產品生態系統，從方差互換、VIX 指數、到相關性互換，都建立在這個基礎上。

早些時候有幸在港中文一睹 BS 模型發明者的智慧

但在 2025 年的預測市場？做市商靠直覺調價差。交易員靠感覺判斷波動。沒有人能精確回答「這個市場的信念波動率是多少」。

現在的預測市場，就是 1973 年之前的期權市場。

而且這不只是理論問題，更是真金白銀的問題。

Polymarket 現在有一套完整的做市商激勵體系 [15][16]，在做市商上使用的激勵金超過 $10M。但問題是：如果你沒有一個定價模型，你怎麼知道價差該開多緊？

開太寬，你拿不到獎勵（因為別人比你緊）。

開太窄，你被知情交易者狙擊。

沒有模型，你就是在盲人摸象——運氣好賺一點獎勵，運氣差虧掉本金。

直到我看到了 Shaw 的這篇論文 [1]。

它做的事情，本質上就是：給預測市場寫了一整套 Black-Scholes。不只是一個全新的定價公式——而是一整套做市基礎設施：從定價到對沖，從庫存管理到衍生品，從校準到風險管理。

作為一個 Polymarket 交易員，以及 @insidersdotbot 交易平台的創始人，我在過去一年裡跟大量的做市商團隊、量化基金、以及交易基礎設施的開發者有過深度的交流。我可以告訴你：這篇論文解決的，正是每個人都在問但沒人能回答的問題。

如果你不知道 Black-Scholes 是什麼，沒關係，這篇文章會從零開始解釋，你不需要對做市這件事情有太多基礎認知。

如果你知道，那你會更興奮，因為你會意識到這意味著什麼：隱含波動率、Greeks、方差互換、相關性對沖，所有傳統期權市場的工具，即將進入預測市場。

讀完這篇文章，你會得到一套完整的做市定價框架，讓你從「拍腦袋定價差」升級到「用公式定價差」。

第一章：波動性定價的第一站 - Black Scholes 模型

在講作為事件合約/二元期權的預測市場之前，我們得先搞懂一件事：Black-Scholes 到底做了什麼？以及，為什麼它這麼重要？

1973 年之前：期權=賭博

1973 年之前，期權交易基本上是這樣的：

你覺得蘋果股票會漲，你想買一個「一個月後以 $150 買入蘋果」的權利（看漲期權）。

問題來了：這個權利值多少錢？

沒人知道。

賣方說：「$10。」買方說：「太貴了，$5。」最後成交 $7.50。

這就是 1973 年之前的期權定價——討價還價。沒有公式，沒有模型，沒有「正確價格」的概念。每個人都在猜。

期權的本質是：用小錢買一個「如果我猜對了」的機會。

Black-Scholes 的核心洞察

1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes 發表了一篇論文 [2]，提出了一個看似簡單的想法：

期權的價格，只取決於一個你不知道的東西——波動率。

不取決於股票會漲還是會跌（方向）。不取決於你覺得它會漲多少（預期收益）。只取決於它會波動多少。

為什麼？因為他們證明了一件事：如果你持有一個期權，你可以通過不斷買賣標的股票來「複製」這個期權的收益。這個複製過程的成本，只取決於波動率。

我們可以用初中數學理解這件事：

想像你在玩一個硬幣遊戲。正面賺 $1，反面虧 $1。有人賣你一個「保險」：如果最終結果是虧的，保險公司幫你兜底。這個保險值多少錢？

關鍵不在於硬幣是不是「公平的」（正面概率是不是 50%）。關鍵在於每次翻轉的波動有多大。

如果每次翻轉是 ±$1，保險便宜。如果每次翻轉是 ±$100，保險很貴。

波動越大 → 保險越貴 → 期權越貴。就這麼簡單。

Black-Scholes 做的事情，就是把這個直覺變成了一個精確的公式。

為什麼這改變了做市模型？

Black-Scholes 之前：期權是賭博。交易員靠直覺定價，沒有共同語言。

Black-Scholes 為期權建立了一整套共識：

共同語言誕生了。所有人開始用「隱含波動率」來報價。你不再說「這個期權值 $7.50」，你說「這個期權的隱含波動率是 25%」。就像所有人突然開始說同一種語言。

風險可以被分解了。選擇權的風險被拆成了幾個獨立的「維度」——Delta（方向風險）、Gamma（加速度風險）、Vega（波動率風險）、Theta（時間衰減）。這些被稱為 Greeks。做市商可以精確地對沖每一個維度的風險。

衍生品層出現了。有了共同語言，你就可以在上面構建新的產品。方差互換（賭波動率大小）、相關性互換（賭兩個資產的聯動程度）、VIX 指數（「恐慌指數」）——所有這些都是 Black-Scholes 的「後代」。

CBOE 成立了。芝加哥期權交易所在 1973 年成立——和 Black-Scholes 論文同年。這不是巧合。有了定價公式，選擇權才能標準化交易 [3]。

換言之，Black-Scholes 把選擇權從「賭博」變成了「金融工程」。它不是一個公式——它是一整套基礎設施的起點。

1973 年前後對比

現在，預測市場的做市正處於 1973 年之前

2025 年，預測市場的月交易量突破了 $130 億 [9]。紐交所母公司 ICE 以 $20 億投資了 Polymarket，估值 $80 億 [7]。Kalshi 和 Polymarket 合計佔據了 97.5% 的市場份額。

但是——

做市商怎麼定價差？靠直覺。

交易員怎麼判斷一個合約的波動是「貴」還是「便宜」？靠感覺。

兩個相關市場之間的聯動怎麼對沖？沒有標準工具。

新聞衝擊來了，價差該怎麼調？每個人有自己的土方法。

這就是 1973 年之前的選擇權市場。

而本文的模型做的事情就是：給預測市場的做市商寫一個 Black-Scholes。

第二章：Logit 變化 - 讓 BS 模型適配預測市場

第一个問題：預測市場和股票市場有什麼不同？

股票價格理論上可以從 $0 漲到無窮大。蘋果可以從 $150 漲到 $1500，也可以跌到 $0。

預測市場的合約價格則永遠在 $0 到 $1 之間。

「特朗普贏得大選」的 YES 合約，價格就是市場認為這件事發生的概率。$0.60 = 市場認為 60% 的概率會發生。

這個區別看起來不大，但它帶來了一個巨大的數學問題：

你不能直接應用 Black-Scholes。

為什麼？因為 Black-Scholes 假設價格可以在整條數軸上自由移動（技術上是正半軸）。但概率被「關」在 0 到 1 之間。當概率接近 0 或 1 的時候，它的行為會變得非常奇怪——變化越來越慢，越來越「黏」在邊界上。

打個比方，你在一個走廊裡跑步。走廊中間，你可以自由奔跑。但越接近牆壁，你越得減速，否則就會撞牆。概率也是一樣——越接近 0 或 1，「移動」就越困難。$0.50 變到 $0.55 很容易（一條新聞就夠了），但 $0.95 變到 $1.00 極其困難（需要幾乎確定的證據）。

解決方案：Logit 變換 - 把走廊變成操場

論文的第一個關鍵步驟：不要直接建模概率 p，而是建模它的 logit 變換。

什麼是 logit？

x = log(p / (1-p))

就是把概率 p 變成「對數賠率」。來看幾個例子：

· p = 0.50（五五開）→ x = log(1) = 0

· p = 0.80（很可能發生）→ x = log(4) = 1.39

· p = 0.95（幾乎確定）→ x = log(19) = 2.94

· p = 0.99（極度確定）→ x = log(99) = 4.60

· p = 0.01（幾乎不可能）→ x = -4.60

概率從 0 到 1 的有限區間，被映射到了從 -∞ 到 +∞ 的整條數軸。

走廊變成了操場。概率在 0 和 1 附近的「黏性」消失了。現在你可以在 x 上自由地使用所有傳統的數學工具。

你可能已經見過 Logit 變化： 它就是機器學習裡 sigmoid 函數的反函數。sigmoid 把任意數字壓縮到 0-1 之間（用來預測概率）。logit 做的是反過來的事情：把 0-1 之間的概率「展開」到整條數軸上。

為什麼要這樣做？因為概率在 0 和 1 附近的行為很「扭曲」——從 0.95 到 0.96 和從 0.50 到 0.51，雖然都是漲了 0.01，但信息量完全不同。logit 變換把這種「不均勻」拉平了。在 logit 空間裡，等距的變化代表等量的信息衝擊。

Logit 變換

跳躍項，擴散，以及漂移：信念的跳躍擴散

現在我們在 logit 空間裡了。緊接著，論文提出的核心變化率模型如下：

dx = μ dt + σ_b dW + 跳躍項

別被公式嚇到。三個部分，每個都要成為你做市過程中的直覺：

擴散（σ_b dW）：這是信念波動率。概率在沒有重大新聞的情況下，因為持續的信息流（民調更新、分析師評論、社交媒體情緒）而緩慢變化的速度。這就是預測市場的「隱含波動率」——整篇文章最核心的概念。做市商定價差、衍生品定價、風險管理——全部圍繞這個 σ_b 展開。

跳躍項目：突發新聞導致的機率突變。辯論中的關鍵失誤、意外的政策聲明、突然的退選——這些不是「緩慢擴散」，而是「瞬間跳躍」。

漂移（μ）：機率隨時間的「自然趨勢」。但這裡有一個關鍵——漂移不是自由的，它被完全鎖定了。下面解釋為什麼。

想像你在看一場選舉的民意調查。

大多數時候，支持率每天變化 0.1-0.3 個百分點——這是擴散（σ_b dW）。像水面上的漣漪，持續但溫和。

然後某天晚上，候選人在辯論中說了一句災難性的話。支持率一夜之間從 55% 跌到 42%——這是跳躍。像一塊石頭砸進水裡。

這個模型同時捕捉了「漣漪」和「石頭」。傳統的 Black-Scholes 只有漣漪（純擴散），沒有石頭（跳躍）。這篇論文的模型更完整——因為預測市場的新聞衝擊遠比股票市場更頻繁、更劇烈。

跳躍擴散模型

漂移被鎖定：做市商真正的 Alpha

這是整篇論文最精妙的部分之一。

在傳統的 Black-Scholes 中，有一個著名的結論：期權定價不需要知道股票會漲還是會跌。你不需要預測蘋果明年是漲是跌，就能給蘋果期權定價。因為漂移在風險中性測度下被「替換」成了無風險利率。

在預測市場中，類似的事情發生了：機率 p 必須是一個鞅（martingale）。在沒有新信息的情況下，你對機率的最佳預測就是當前的機率。如果市場認為特朗普有 60% 的機率贏，那麼在沒有新信息的情況下，明天的最佳預測還是 60%。

這意味著：漂移 μ 被完全鎖定了。一旦你知道了信念波動率 σ_b 和跳躍行為，漂移就被自動確定了。你不需要猜測漂移的具體數字。

對做市商來說，這是一個巨大的好消息。你不需要預測「特朗普會不會贏」（方向），你只需要估計「市場的不確定性有多大」（波動率）。方向是所有人都在猜的東西——你沒有優勢。但波動率是可以從數據中精確估計的——這才是你的優勢所在。

簡單來說，你不需要知道明天會不會下雨（方向），你只需要知道天氣預報的「不確定性有多大」（波動率）。你為「不確定性」定價，而不是為「方向」定價。這就是做市商和散戶的根本區別。

三個可交易的風險因子

漂移被鎖定之後，還剩什麼？做市商需要關注的，就是這三個因素：

信念波動率 σ_b：概率在沒有重大新聞時的」日常波動速度」。這是你定價差的核心輸入。σ_b 高 → 價差開寬。σ_b 低 → 價差開窄。

跳躍強度 λ 和跳躍大小：突發新聞多久來一次？每次來了概率跳多少？這決定了你需要多少」保險」（第四章的衍生品就是幹這個的）。

跨事件相關性和共同跳躍：兩個相關市場會不會因為同一條新聞同時動？這決定了你的投資組合風險。

這三個因素，就是預測市場做市商的「儀表板」。就像傳統期權做市商每天盯著隱含波動率曲面一樣，未來的預測市場做市商會盯著 σ_b、λ、ρ。

第三章：做市商操作手冊

理論成立。但做市商關心的是：這東西怎麼賺錢？

預測市場的 Greeks

在傳統期權市場，Greeks（希臘字母）是做市商的命根子。Delta 告訴你方向風險有多大，Gamma 告訴你加速度風險，Vega 告訴你波動率變化的影響。

這篇論文給預測市場定義了一套完整的 Greeks [1]：

最重要的是 Delta，Delta = p(1-p)

這是方向敏感度——logit 空間裡 x 變化 1 個單位，概率 p 變化多少。

注意這個公式：p(1-p)。這個東西會反覆出現——它是整篇文章的「萬能因子」。

當 p = 0.50 時，Delta 最大 = 0.25。當 p = 0.95 時，Delta = 0.0475。當 p = 0.99 時，Delta = 0.0099。

做市商怎麼用？在 p = 0.50 附近，同樣的信息衝擊會引起最大的價格變動——你需要更寬的價差來保護自己。在 p = 0.99 附近，即使 logit 空間裡發生了很大的變化，價格幾乎不動——你可以報很窄的價差。

舉個例子，一場選舉目前是 50-50。一條新聞出來，概率可能從 50% 跳到 55%——變了 5 個百分點。但如果目前是 99-1，同樣的新聞可能只讓概率從 99% 變到 99.2%——幾乎沒動。越接近確定的結果，越難被撼動。

Delta 敏感度

另外三個重要因素則是 Gamma，信念 Vega，以及相關性 Vega。

Gamma = p(1-p)(1-2p)： 這是「新聞非線性」。當概率不在 50% 的時候，好消息和壞消息的影響是不對稱的。如果 p = 0.70，好消息的影響比壞消息小（因為已經很高了，上漲空間有限）。做市商需要知道這一點，因為不對稱意味著你的庫存風險也是不對稱的。

信念 Vega ：你的倉位對信念波動率變化的敏感度。如果 σ_b 突然上升（比如辯論前一天），你的倉位價值會怎麼變？

相關性 Vega： 如果你同時持有兩個相關市場的倉位，它們的相關性變化會怎麼影響你？

四類風險

論文把做市商面臨的所有風險歸入四個大類 [1]：

方向風險（Delta）：概率往哪個方向走？這是最基本的。

曲率風險（Gamma）：大新聞來了，價格的反應是不是不對稱的？

資訊強度風險（信念 Vega）：市場的「不確定性」本身在變化嗎？例如辯論前的不確定性飆升。

跨事件風險（相關性 Vega + 共同跳躍）：你的多個倉位會不會因為同一條新聞同時虧損？

例如，你是一個保險公司。方向風險就是「這棟房子會不會著火」。曲率風險就是「如果著火了，損失是線性的還是指數級的」。資訊強度風險就是「今年是不是特別乾旱，火災機率本身在上升」。跨事件風險就是「如果一棟房子著火了，隔壁的房子會不會也著火」。

厲害的做市商會分別管理這四種風險，而不是將它們混在一起。

庫存管理：你手上有多少貨，就該怎麼調價

做市商最核心的日常問題是：我手上有多少庫存，我該怎麼調價差？

論文把經典的 Avellaneda-Stoikov 做市模型 [6] 搬到了 logit 空間：

保留報價 = 當前 logit 值 - 庫存 × 風險厭惡 × 信念方差 × 剩餘時間

總價差 ≈ 風險厭惡 × 信念方差 × 剩餘時間 + 流動性補償

不用記公式。記住三條規則就行：

庫存越多 → 報價越偏。如果你手上有太多 YES 合約，你會把 YES 的賣價壓低（鼓勵別人買走），把 YES 的買價壓得更低（不想再買入更多）。這是做市商的「自我保護」——通過調價來控制庫存。

波動率越高 → 價差越寬。市場越不確定，你承擔的風險越大，你要求的補償（價差）就越多。辯論之夜 σ_b 飆升，你的價差應該自動加寬。

離到期越近 → 價差越窄。因為剩餘的不確定性在減少。選舉日當天早上，結果幾乎確定了，價差應該很窄。

但這裡有一個妙處： 當你把 logit 空間的報價映射回概率空間時，價差會自動在極端概率附近壓縮。因為 Delta = p(1-p)，在 p ≈ 0 或 p ≈ 1 附近，logit 空間裡的一個單位變化對應概率空間裡很小的變化。所以即使你在 logit 空間裡保持恆定的價差，映射回來後，極端價格附近的價差會自動變窄。

這正好符合 Polymarket 的激勵機制： 在極端概率附近，你可以報很窄的價差（因為風險低），拿到更高的 Q-score，賺更多的流動性獎勵。模型自動幫你做到了這一點。

舉例而言，加入你是一個二手車商。如果一輛車的市場價很不確定（可能值 $10,000 也可能值 $20,000），你會開一個很寬的價差——$12,000 收，$18,000 賣。如果市場價很確定（就值 $15,000 左右），你會開一個很窄的價差——$14,500 收，$15,500 賣。做市商做的事情一模一樣。只不過他們」賣」的是概率合約，而不是二手車。

做市商價差機制

第四章：做市商的保險櫃 - 五個你遲早需要的風險工具

前三章給了你定價差和管理庫存的工具。但做市商面臨的一個核心矛盾還沒解決：

你賺的是價差（每天穩定的小錢），但你承擔的是尾部風險（偶爾的巨額虧損）。

辯論之夜波動率飆升 5 倍，一晚上虧掉一個月的利潤。選舉之夜三個市場同時崩盤，投資組合虧 40%。概率突然從 $0.60 跳到 $0.90，你的 NO 庫存巨虧。

在传统期权市场，做市商使用衍生品来对冲这些风险。方差互换对冲波动率飙升。相关性互换对冲多市场联动。障碍期权对冲极端价格。

预测市场目前没有这些工具。但这篇论文给出了完整的数学基础，每个产品的定价公式都直接来自第二章的 logit 空间模型。

这些产品和前面的框架是什麼關係？很簡單：第二章的模型給了你三個風險因子（σ_b、λ、ρ），第三章的 Greeks 告訴你倉位對這些因子有多敏感，第四章的衍生品讓你精確對沖每個因子的風險。沒有衍生品，你知道自己有風險但沒法消除它。有了衍生品，你可以把不想要的風險「賣」給願意承擔的人。

這也是為什麼衍生品不是「高級玩家的玩具」。它是做市商能不能長期存活的關鍵。沒有對沖工具，做市商只能開寬價差來保護自己。價差寬了，流動性差。流動性差，市場就長不大。

衍生品 → 對沖 → 窄價差 → 好流動性 → 大市場。

這個正循環，1973 年在期權市場發生過一次。現在輪到預測市場了。

這部分將會提到的五個產品，每個會解決一個具體的做市痛點，每個都是預測市場做市商/工具可以去做的功能。（所以，如果大家有需求，說不定哪天 @insidersdotbot 就做了。請務必保持關注。如果大家想要自己開發這些產品，我們也很樂意提供我們的交易 API 與數據 API。）

產品一：信念方差互換 - 波動率保險

解決什麼問題？你在 5 個市場做市，每天穩穩賺 $200 的價差收入。然後辯論之夜來了，波動率飆升 5 倍，你一晚上虧了 $3,000。半個月的利潤全沒了。

你賺的是價差（穩定的小錢），但你承擔的是波動率風險（不穩定的大錢）。這兩者不匹配。

如何實現？你和對手方約定一個「執行波動率」。如果實際波動率高於這個水平，對手方賠你錢；如果低於這個水平，你賠對手方錢。本質上就是波動率保險。

具体例子：比如，选举前两周，你买入一个信念方差互換，约定执行波動率 σ² = 0.04。辯論之夜波動率飆升到 0.10，你獲得賠付 0.06，覆蓋庫存虧損。如果辯論很無聊，波動率只有 0.02，你虧 0.02——這就是保險費。

定價靠什麼？公平執行價 = 日常波動的方差 + 新聞跳躍的方差。兩個部分分別來自第二章模型的 σ_b（擴散）和 λ（跳躍）

傳統市場的對標： VIX 指數就是一籃子方差互換的價格 [14]。它告訴你」市場認為未來 30 天的波動率是多少」。全球方差互換市場的規模，已經達到萬億美元級別 [10]。

現在能用嗎？目前沒有平台提供這個產品。但如果你是開發者，論文的附錄有完整的定價公式。如果你是做市商，你可以先用一個簡化版本：在高波動率時期減少庫存，低波動率時期增加庫存，本質上就是在手動做方差互換。

信念方差互換

產品二：p(1-p) 曲線 - 預測市場的」恐慌指數」

解決什麼問題？你想知道「現在市場有多緊張」，但沒有一個標準化的指標。

如何實現？還記得第三章的 Delta = p(1-p) 嗎？這個公式不只是一個 Greeks——它也是一個「不確定性溫度計」。

當 p = 0.50 時，p(1-p) = 0.25——最大不確定性。當 p = 0.90 時，p(1-p) = 0.09——不確定性下降了將近 3 倍。

當 p = 0.99 時，p(1-p) = 0.0099——幾乎沒有不確定性了。

為什麼這很有用？當你看到一個合約從 $0.50 漲到 $0.60，p(1-p) 從 0.25 降到了 0.24 時，不確定性幾乎沒變，價差不用調。但如果從 $0.80 漲到 $0.90，p(1-p) 從 0.16 降到了 0.09——不確定性下降了將近一半，你可以收窄價差，從而獲取更多流動性獎勵。同樣是漲了 $0.10，做市策略應該完全不同。

傳統市場的對標：p(1-p) 也與 VIX 指數有類似的地方 [14]。VIX 告訴你「市場有多恐慌」。p(1-p) 告訴你「市場有多不確定」。

現在就能用！p(1-p) 曲線是五個產品裡唯一一個今天就能立刻使用的。一行程式碼：uncertainty = p * (1 - p)。把它加到你的做市策略裡，就可以根據不確定性動態調整價差。

VIX 曲線

產品三：相關性互換 - 選舉之夜的地震保險

解決什麼問題？

你在三個市場做市：「特朗普贏賓州」（$5,000 庫存）、「特朗普贏密歇根」（$5,000 庫存）、「共和黨贏參議院」（$3,000 庫存）。如果這三個市場是獨立的，一個虧錢的時候另外兩個可能賺錢。但實際上它們高度相關——一條新聞出來，三個市場同時暴跌。你不是虧 $5,000——你可能虧 $13,000。

如何實現？你和對手方約定一個「執行相關性」。如果實際相關性超過這個水平，你獲得賠付。2008 年金融危機的時候，所有資產的相關性突然飆升到接近 1——持有相關性互換的人賺了大錢，沒持有的人被團滅。

定價靠什麼？第二章的模型裡有一個「共同跳躍」參數——多個市場因為同一條新聞同時跳躍。相關性互換的定價直接依賴於這個參數。沒有模型來估計「共同跳躍的強度」，你就沒法給這個保險定價。

現在能做什麼？目前沒有正式的相關性互換產品。但你可以用一個簡單的方法近似：在高度相關的市場之間做反向倉位。比如你在「特朗普贏賓州」做市持有 YES 庫存，同時在「特朗普贏密歇根」也持有 YES 庫存——你可以主動在其中一個市場減少庫存，降低相關性敞口。數學上來說，這個模型並不完美，但比裸扛好很多。

相关性風險

產品四：走廊方差 - 只保」搖擺區」的精準保險

解決什麼問題？你買了一個涵蓋全概率範圍的方差互換，但你發現：概率在 0.90 以上的時候，波動率很低，你在為低風險區間白白付保險費。你真正需要保護的是 0.35 到 0.65 的「搖擺區」——訂單流最大，信息毒性最高，最容易被知情交易者狙擊。

如何實現？走廊方差只在概率處於某個區間時才累積方差。你可以只買「搖擺區保險」，不為平靜區付費。

定價靠什麼？走廊方差需要知道不同概率區間的局部波動率。這直接來自第五章的信念波動率曲面——曲面告訴你「在 p = 0.50 附近，波動率是多少；在 p = 0.90 附近，波動率是多少」。沒有曲面，你沒法給走廊方差定價。

實際場景： 你是做市商，主要在「搖擺區」（0.40-0.60）活躍。你買一個走廊方差合約，只覆蓋這個區間。當概率在這個區間內劇烈波動時，你獲得賠付。當概率跑到 0.85 以上的「安全區」，走廊方差停止累積——你不用為那個區間付保險費。保費更低，保障更精準。

走廊方差

產品五：首次觸達票據 - 極端價格的止損保險

解決什麼問題？你是做市商，「特朗普贏」目前 $0.60。你手上有一些 NO 庫存。如果概率突然飆升到 $0.90，你的 NO 庫存巨虧。你可以設止損單——但在預測市場，止損單經常被「掃掉」（價格短暫觸達你的止損價然後回來，你被迫平倉，然後眼睜睜看著價格回到原來的位置）。

如何實現？「如果概率在選舉日之前突破 $0.80，賠我 $1。」這就是極端價格的止損保險——不用手動設止損，而是用一個金融合約來精確對沖。

定價靠什麼？首次觸達票據的定價需要知道概率路徑「觸達某個水平」的概率。這是一個經典的首次通過時間問題，直接依賴於第二章的 σ_b 和 λ。跳躍越頻繁（λ 越大），觸達極端水平的概率越高，票據越貴。

首次觸達票據

串聯五大產品

這部分提到的五個產品並不是孤立的。它們形成了一個完整的做市商風險管理工具箱：

· 方差互換對沖整體波動率風險。

· 走廊方差精確對沖特定區間的風險。

· 相關性互換對沖多市場聯動風險。

· 首次觸達票據對沖極端價格風險。

p(1-p) 曲線給所有人一個「不確定性」的共同語言。

而所有這些產品的定價，都回到同一個地方：第二章的 logit 空間跳躍擴散模型。σ_b 定價方差互換和走廊方差。λ 定價首次觸達票據。共同跳躍參數定價相關性互換。

這就是為什麼這篇論文不只是「一個模型」——它是一整套做市基礎設施的起點。

衍生品層一覽

這部分提到的這些產品（除了 p(1-p)）都還不存在於任何預測市場平台上。最接近的入口是 Polymarket 的 CLOB API [15]——你可以在上面構建自動化的做市策略，用論文的 Greeks 來管理庫存。當然，等 @insidersdotbot 開放 API，我們也歡迎大家隨時聯繫我們獲取。

還是那句話，Polymarket 發展任重道遠，需要所有人一起努力共同建設。

如果你是開發者，論文的附錄裡有完整的定價公式。

如果你是做市商，你可以先用 p(1-p) 和 σ_b 來優化你現有的價差策略——這不需要等衍生品市場建好，就可以立刻通過簡單的 script 執行。

第五章：數據校準 - 從噪音數據中提取信號

理論模型再漂亮，如果不能從真實數據中校準參數，就是廢紙。

原論文花了大量篇幅講校準管道 [1]，這也是它和純理論論文的最大區別 - 有效的，可靠的，可執行的最終結論。

什麼是「校準」？

想象你買了一個溫度計。它的刻度是印好的，但你怎麼知道它準不準？你需要把它放進冰水裡（應該顯示 0°C）和沸水裡（應該顯示 100°C），然後調整它。這個過程就是校準。

我們的模型也是一樣。前面幾章定義了一個漂亮的數學框架，但如果要具體執行，框架裡有幾個關鍵參數需要從真實數據中提取：

σ_b：信念波動率。概率每天「自然波動」多少？

λ：跳躍強度。突發新聞多久來一次？

跳躍大小分佈：每次跳躍有多大？

η：微結構噪音。市場價格裡有多少「假信號」？

這些參數不是你拍腦袋定的。它們必須從真實的市場數據中進行提取。校準是讓模型從「理論上正確」變成「實戰中可用」的關鍵一步。

問題：你看到的價格不是真實的概率

打開 Polymarket，你看到「特朗普贏大選」的最新成交價是 $0.52。

這個 $0.52 是「市場的真實信念」嗎？不是。它充滿了三種主要噪音：

買賣價差噪音：你看到的「最新成交價」可能只是某個人用市價單吃掉了一個掛單。如果買一是 $0.51，賣一是 $0.53，那「真實信念」可能是 $0.52 左右。但最新成交價可能是 $0.51 或 $0.53。

深度不足噪音：一筆 $500 的市價單就能把價格推動 3 個百分點。這不是「市場信念變了」，而是「訂單簿太薄了」。

微結構噪音：高頻交易、做市商的報價調整、網路延遲——這些都會在真實信号上疊加噪音。

論文的觀測模型：觀測到的 logit = 真實的 logit + 微結構噪音。你的任務是：從骯髒數據中恢復真實信號。

第一步：Kalman 濾波 - 從噪音中恢復信號

Kalman 濾波器是一個經典的信號處理工具 [13]。它最早是為阿波羅登月計劃開發的——用來從嘈雜的雷達信號中追踪飛船的真實位置。

核心思想：你有兩個不完美的資訊來源。Kalman 濾波器找到兩者的最佳加權。

資訊來源一：模型預測。你的跳躍擴散模型說：「根據昨天的概率和參數，今天的概率應該大約是 X。」但模型不完美——它不知道今天會不會有新聞。

資訊來源二：實際觀測。市場上的最新成交價告訴你：「現在的價格是 Y」但觀測不完美——裡面有噪音。

Kalman 濾波器的做法：

市場流動性好（價差窄、深度大）→ 觀測噪音小 → 更信任觀測值。

市場流動性差（價差寬、深度淺）→ 觀測噪音大 → 更信任模型預測。

這個「信任度」的分配是自動的、最佳的。你不需要手動調參數。

這就好像你在開車，GPS 告訴你「你在 A 路上」（觀測），但你的速度計和方向盤告訴你「你應該在 B 路上」（模型預測）。GPS 信號強的時候信 GPS，信號弱的時候（比如在隧道裡）信速度計。Kalman 濾波器就是這個「自動切換信任度」的系統。

Kalman 濾波

第二步：EM 算法 - 分離「日常波動」和「新聞衝擊」

恢復了真實信號之後，下一個問題是：哪些價格變動是「正常波動」（擴散），哪些是「新聞衝擊」（跳躍）？

為什麼要分離？因為這兩種波動的性質完全不同。擴散是連續的、可預測的——今天波動率是 2%，明天大概率也在 2% 附近。跳躍是突然的、不可預測的——前一秒還風平浪靜，下一秒概率跳了 10 個百分點。

如果你把兩種波動混在一起估計，你會高估日常波動率（因為跳躍被算進去了），導致價差開得太寬，賺不到錢。

EM 算法怎麼分離？

想象你面前有一堆球，有些是紅色的（跳躍），有些是藍色的（擴散），但燈光很暗，你看不清顏色。

E 步： 對每個球，根據它的大小猜測它是紅色還是藍色的概率。大的球更可能是紅色（跳躍通常更大）。

M 步： 根據你的猜測，分別計算「紅色球的平均大小」（跳躍參數）和「藍色球的平均大小」（擴散參數）。

然後重複：用新的參數重新猜測顏色 → 用新的顏色重新計算參數 → 直到收斂。

關鍵約束： 每次 M 步之後，重新計算風險中性漂移，確保概率仍然是鞅。這是整個框架的「地基」——不管你怎麼分離擴散和跳躍，鞅性質不能被破壞。

EM 算法就好像你在聽一段錄音。錄音裡有兩種聲音：背景音樂（擴散）和偶爾的鞭炮聲（跳躍）。你想分別測量「背景音樂有多響」和「鞭炮有多響」。如果不分離，直接測總音量，你會得到一個「平均音量」——對背景音樂來說太高了，對鞭炮來說又太低了。EM 算法的做法是：先猜哪些時刻是鞭炮、哪些是背景音樂，然後分別測量。反復幾輪之後，你就能精確地分離兩種聲音了。

EM 算法

第三步：构建信念波動率曲面

分離完擴散和跳躍之後，你就可以構建一個信念波動率曲面。

在傳統期權市場，隱含波動率不是一個固定的數字。它取決於兩個維度：

· 第一、距離到期的時間（越遠越不確定）

· 第二、當前價格位置（不同價格區間波動率不同）

把這兩個維度畫成一個曲面，就是波動率曲面 [12]。

做市商每天早上第一件事就是看波動率曲面——它告訴你」市場認為未來的波動率是什麼樣的」。

現在，預測市場的做市商也可以有自己的曲面了。

這個曲面能告訴你什麼？

· 如果曲面在某個時間點突然變陡（比如辯論前一天），說明市場預期那個時間點會有大波動。做市商應該提前加寬價差。

· 如果曲面在 p = 0.50 附近比 p = 0.80 附近高很多，說明「搖擺區」的波動率遠高於「確定區」。你可以在確定區報更窄的價差，拿更多流動性獎勵。

· 如果兩個市場的波動率曲面形狀很相似，說明它們可能被同樣的因子驅動。你需要注意相關性風險。

用人話說，波動力曲面就是一張天氣預報的「熱力圖」。橫軸是未來的日期，縱軸是不同的地區，顏色代表溫度。你一眼就能看出」下周三華北地區會特別熱」。信念波動率曲面就是預測市場的「波動率熱力圖」。橫軸是距離結算的時間，縱軸是概率位置，顏色代表波動率。你一眼就能看出「辯論前一天、概率在 50% 附近的波動率最高」。

信念波動率曲面

第六章：實驗 - 這套框架到底好不好使？

前五章，我們建立了一套完整的框架。這一章，我們要回答一個最關鍵的問題：它真的比現有方法好嗎？

怎麼判斷？

論文用了兩個核心指標 [1]：

· 均方誤差：把每個時間點的「預測值 - 實際值」取平方再取平均。平方的作用是嚴厲懲罰大偏差——偏差 0.10 的懲罰是偏差 0.01 的 100 倍。回答的問題：模型會不會偶爾犯大錯？

· 平均絕對誤差：把偏差取絕對值再取平均。更直觀：平均每次偏差多少？

一個好模型應該兩個都低——既不會偶爾犯大錯，也不會持續犯小錯。

還有一個關鍵：模型在每個時間點只能使用那個時間點之前的數據，不能偷看未來。

四個對手

為了證明上文框架的有效性，原論文的模型和四個現有做市方法進行了正面對比。

· 隨機遊走：假設波動率永遠不變。不管辯論之夜還是平靜期，波動率都一樣。就像一個天氣預報員每天都說「明天 25°C」——春天偶爾對，冬天和夏天錯得離譜。最簡單的基準線。

· 恆定波動率擴散：和隨機遊走類似，但波動率是用數據拟合出來的—「最優常數」。就像那個預報員改成了「每天都報全年平均溫度」——平均誤差小了，但極端天氣還是抓不住。

· Wright-Fisher / Jacobi 模型：直接在概率空間（0 到 1 之間）建模，不做 logit 變換。聽起來更「自然」——概率本來就在 0 到 1 之間，為什麼要變換？但這是一個陷阱。當概率接近 0 或 1 時，概率空間裡的小誤差映射到 logit 空間後會被指數級放大。

· GARCH：傳統金融裡最常用的波動率模型。核心思想是「大波動之後跟著大波動」。在股票市場非常好用。但在預測市場有兩個致命問題：不區分日常波動和新聞跳躍，也沒有鞅約束。

結果：全面碾壓

我們建立的做市模型在均方誤差和平均絕對兩個指標上都是最優的 [1]。

在 logit 空間的均方誤差上，本文使用的模型比最好的對手（恆定波動率擴散）低了一個數量級以上。比 Wright-Fisher 和 GARCH 低了 15 到 17 個數量級。

不是「稍微好一點」。是「完全不在一個級別」。

模型對比

為什麼差距這麼大？

鞅約束消除了系統性偏差。其他模型沒有這個約束，可能隱含「機率應該往上走」或「往下走」的假設。論文模型的鞅約束確保天平是平的。

分離跳躍和擴散。平靜期的波動率不會被新聞跳躍「污染」。GARCH 做不到這一點——它看到大波動就以為後面還會有大波動，但實際上跳躍之後可能立刻恢復平靜。

GARCH vs RN-JD

日程感知。模型知道「下周有辯論」或「下個月是投票日」。在這些已知的新聞窗口前後，自動提高跳躍強度預測。其他模型完全忽略了這些公開信息。

最關鍵的發現：在機率空間建模是死路

實驗中最震撼的發現：直接在機率空間建模的方法會災難性地失敗。

Wright-Fisher 和 GARCH 在映射到 logit 空間後，均方誤差膨脹了 15 到 19 個數量級。

如果你是做市商，你用這些模型來定價差，你的價差在極端機率附近會完全錯誤。不是偏差 10%——是偏差 10 的 17 次方。你會在幾秒內被套利者吃掉。

概率空間建模是死路

這個發現鎖定了一個結論：預測市場的量化建模，必須在 logit 空間進行。如果你現在正在用任何直接在概率空間建模的方法（包括簡單的移動平均、線性回歸等），先做 logit 變換再做分析。一行代碼（x = log(p/(1-p))），但它能避免災難性的誤差。

尾聲：從零開始的預測市場莊家生活

六章讀完了。從 1973 年的 BS 公式，到 logit 變換，到 Greeks 和庫存管理，到衍生品，到校準，到實驗驗證。

現在的問題是：下一步做什麼？

如果你是散戶交易員——你不需要實現整個模型。但有兩個東西值得馬上用：

· 第一，用 p(1-p) 來評估你的倉位風險。如果你持有一個 $0.50 的合約，p(1-p) = 0.25，你的倉位對新聞非常敏感。如果你持有一個 $0.90 的合約，p(1-p) = 0.09，敏感度低了將近 3 倍。同樣是 $1,000 的倉位，風險完全不同。

· 第二，記住「波動率比方向更重要」。當你看到一個合約價格在 $0.50 附近劇烈波動，那不只是「市場不確定」——那是高信念波動率，意味著高風險。理解這個區别，比預測 Trump 會不會贏」更有用。

如果你是做市商——這篇論文給了你一個完整的升級路徑：

· 今天就能做的： 把你的分析從概率空間搬到 logit 空間（x = log(p/(1-p))，一行代碼）。用 p(1-p) 來動態調整價差。在已知新聞窗口（辯論、投票日）前主動加寬價差。

· 需要一些編程的： 實現 Kalman 濾波去噪 + EM 分離跳躍。Python 的 filterpy 库可以直接用。論文的附錄有完整的公式。

· 長期目標： 構建完整的信念波動率曲面，用 Avellaneda-Stoikov 在 logit 空間的版本來自動化庫存管理。

Polymarket 的流動性獎勵機制會獎勵價差更緊的做市商 [15][16]。有了定價模型，你可以在不增加風險的前提下報更緊的價差——賺更多獎勵。

如果你是平台或基礎設施開發者——衍生品層是下一個巨大的機會。信念方差互換、相關性互換、走廊方差——這些產品在傳統市場的交易量是萬億級別的。預測市場的版本還不存在。

最現實的切入點：先建一個「預測市場 VIX」——一個即時的 p(1-p) 加權不確定性指數。這個不需要新的合約類型，只需要一個數據產品。然後在此基礎上逐步引入方差互換和相關性互換。

1973 年，Black-Scholes 把期權從賭博變成了金融工程。

2025 年，同樣的事情正在預測市場發生。

論文是公開的 [1]。框架是完整的。工具是可實現的。問題是：你準備好了嗎？

附錄：概念速查

· Black-Scholes 模型 → 1973 年的期權定價公式，核心洞察是「漂移不重要，波動率才重要」。給了所有人一個共同語言（隱含波動率），催生了整個衍生品生態系統 [2]

· Logit 變換 → x = log(p/(1-p))，把 0-1 的概率映射到整條數軸。讓你可以在無界空間裡使用傳統數學工具 [1]

· 信念波動率 σ_b → 預測市場的「隱含波動率」。衡量概率在沒有重大新聞時的日常波動速度。做市商定價差的核心輸入 [1]

· 跳躍項 → 突發新聞導致的概率突變。和擴散（日常波動）不同，跳躍是瞬間的、不連續的 [1]

· 鞅 → 機率的最佳預測就是當前值。沒有新資訊時，機率不應該有系統性的漂移

· Greeks → 衡量倉位對各種風險因子敏感度的指標。Delta = 方向，Gamma = 曲率，Vega = 波動率敏感度 [11]

· p(1-p) → 預測市場的「萬能因子」。同時是 Delta、不確定性指標、和方差互換定價的核心

· 信念方差互換 → 賭「信念波動率會有多大」的合約。做市商用來對沖波動率風險 [1]

· 相關性互換 → 對沖多個相關市場同時波動的風險。選舉之夜的必備工具 [1]

· 走廊方差 → 只在機率處於某個區間時累積的方差。對沖「搖擺區」風險 [1]

· 首次觸達票據 → 如果機率在到期前觸達某個水平就支付。極端價格附近的庫存保險 [1]

· Kalman 濾波 → 從噪音觀測中恢復真實信號的算法。結合模型預測和實際觀測的最佳加權 [13]

· EM 算法 → 期望最大化算法，用來分離擴散（日常波動）和跳躍（新聞衝擊）兩種成分

· Avellaneda-Stoikov 模型 → 經典的做市商庫存管理模型。庫存越多→報價越偏，波動率越高→價差越寬 [6]

· 信念波動率曲面 → 波動率隨時間和機率位置變化的二維曲面。做市商的核心工具 [1]

參考資料：

[1] 論文原文「Toward Black-Scholes for Prediction Markets」：https://arxiv.org/abs/2510.15205

[2] Black-Scholes 原始論文 (1973)：Fischer Black & Myron Scholes，「The Pricing of Options and Corporate Liabilities」，Journal of Political Economy

[3] Goldman Sachs: Black-Scholes 歷史：https://www.goldmansachs.com/our-firm/history/moments/1973-black-scholes

[4] Black-Scholes 模型解釋 - Investopedia：https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp

[5] Logit 和 Sigmoid 函數：https://nathanbrixius.wordpress.com/2016/06/04/functions-i-have-known-logit-and-sigmoid/

[6] Avellaneda-Stoikov 做市模型指南：https://hummingbot.org/blog/guide-to-the-avellaneda–stoikov-strategy/

[7] ICE 投資 Polymarket $20 億：https://ir.theice.com/press/news-details/2025/ICE-Announces-Strategic-Investment-in-Polymarket/

[8] Polymarket 2025 年交易量數據（Dune）：$220B 年度交易量

[9] 預測市場行業增長：月交易量突破 $130 億：https://internationalbanker.com/finance/accounting-for-the-explosive-growth-in-prediction-markets/

[10] 方差互換解釋 - Investopedia：https://www.investopedia.com/terms/v/varianceswap.asp

[11] Greeks 解釋 - Investopedia：https://www.investopedia.com/terms/g/greeks.asp

[12] 隱含波動率 - Investopedia：https://www.investopedia.com/terms/i/iv.asp

[13] Kalman 濾波器圖解：https://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/

[14] CBOE VIX 指數：https://www.cboe.com/tradable_products/vix/

[15] Polymarket CLOB 文件：https://docs.polymarket.com/

[16] Polymarket 流動性獎勵：https://docs.polymarket.com/market-makers/liquidity-rewards

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